Đại số chứa đầy các mẫu lặp đi lặp lại mà bạn có thể tìm ra bằng số học mọi lúc. Nhưng vì những mẫu đó quá phổ biến nên thường có một công thức nào đó để giúp tính toán dễ dàng hơn. Lập phương của một nhị thức là một ví dụ tuyệt vời: Nếu bạn phải tính toán nó mọi lúc, bạn sẽ mất rất nhiều thời gian với bút chì và giấy. Nhưng một khi bạn biết công thức giải khối lập phương đó (và một số thủ thuật hữu ích để ghi nhớ nó), việc tìm ra câu trả lời của bạn cũng đơn giản như cắm đúng thuật ngữ vào đúng ô biến.
Tính lập phương của một nhị thức
Không cần phải hoảng sợ khi bạn nhìn thấy một vấn đề như (a + b) 3 trước mặt bạn. Khi bạn chia nhỏ nó thành các thành phần quen thuộc, nó sẽ bắt đầu giống những bài toán quen thuộc hơn mà bạn đã làm trước đây.
Trong trường hợp này, nó giúp ghi nhớ rằng
(a + b) 3
giống như
(a + b)(a + b)(a + b) , sẽ trông quen thuộc hơn rất nhiều.
Nhưng thay vì phải tính toán từ đầu mọi lúc, bạn có thể sử dụng “lối tắt” của công thức đại diện cho câu trả lời mà bạn sẽ nhận được. Đây là công thức cho lập phương của một nhị thức:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Để sử dụng công thức, hãy xác định những số (hoặc biến) chiếm vị trí cho “a” và “b” ở phía bên trái của phương trình, sau đó thay thế những số (hoặc biến) đó vào vị trí “a” và “b” ở phía bên phải của công thức.
Ví dụ 1: Giải (x + 5) 3
Như bạn có thể thấy, x chiếm vị trí “a” ở bên trái công thức của bạn và 5 chiếm vị trí “b”. Thay x và 5 vào vế phải của công thức sẽ cho bạn:
x 3 + 3x 2 5 + 3×5 2 + 5 3
Một chút đơn giản hóa giúp bạn tiến gần hơn đến câu trả lời:
x 3 + 3(5)x 2 + 3(25)x + 125
Và cuối cùng, khi bạn đã đơn giản hóa hết mức có thể:
x 3 + 15x 2 + 75x + 125
Điều gì về phép trừ?
Bạn không cần một công thức khác để giải một bài toán như (y – 3) 3 . Nếu bạn nhớ rằng y – 3 giống với y + (-3) , bạn chỉ cần viết lại bài toán thành [y + (-3)] 3 và giải nó bằng công thức quen thuộc của mình.
Ví dụ 2: Giải (y – 3) 3
Như đã thảo luận, bước đầu tiên của bạn là viết lại bài toán thành [y + (-3)] 3 .
Tiếp theo, hãy nhớ công thức lập phương của một nhị thức:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Trong vấn đề của bạn, y chiếm vị trí “a” ở phía bên trái của phương trình và -3 chiếm vị trí “b”. Thay thế chúng vào các vị trí thích hợp ở phía bên phải của phương trình, hết sức cẩn thận với dấu ngoặc đơn của bạn để giữ nguyên dấu âm phía trước -3. Điều này mang lại cho bạn:
y 3 + 3y 2 (-3) + 3y(-3) 2 + (-3) 3
Bây giờ là lúc để đơn giản hóa. Một lần nữa, hãy chú ý đến dấu hiệu tiêu cực đó khi bạn áp dụng số mũ:
y 3 + 3(-3)y 2 + 3(9)y + (-27)
Một vòng đơn giản hóa nữa sẽ cho bạn câu trả lời:
y 3 – 9y 2 + 27y – 27
Coi chừng Tổng và Hiệu của các Hình khối
Luôn chú ý đến vị trí của số mũ trong bài toán của bạn. Nếu bạn thấy vấn đề ở dạng (a + b) 3 hoặc [a + (-b)] 3 thì công thức đang được thảo luận ở đây là phù hợp. Nhưng nếu bài toán của bạn giống như (a 3 + b 3 ) hoặc (a 3 – b 3 ) thì đó không phải là lập phương của nhị thức. Đó là tổng các lập phương (trong trường hợp thứ nhất) hoặc hiệu của các lập phương (trong trường hợp thứ hai), trong trường hợp đó, bạn áp dụng một trong các công thức sau:
(a 3 + b 3 ) = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )
(a 3 – b 3 ) = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )
